分数离散拉普拉斯算子与离散化分数拉普拉斯算子的比较

我们定义并研究了离散拉普拉斯算子的分数幂 $$(-\Delta_h)^s,\quad\hbox{在}~\mathbb{Z}_h = h\mathbb{Z}~上,$$ 其中 $h>0$ 且 $0<s<1$，并探讨了其若干性质。我们将我们的分数离散拉普拉斯算子与 $h\to0$ 时\textit{离散化}的连续分数拉普拉斯算子进行了比较。在极小正则性假设下，我们得到了以 $h$ 表示的近似误差的 $\ell^\infty$ 估计。此外，我们提供了一个带有显式核的点态公式，并推导了 $(-\Delta_h)^s$ 的 Hölder 估计。还概述了对负幂（或离散分数积分）$(-\Delta_h)^{-s}$ 的研究。我们的分析主要在一维情形下进行。尽管如此，我们展示了二维情形下核的某些渐近估计，这些估计可推广到更高维度。给出了一些示例图以说明一维和二维情形下的比较。