球面上的分数阶拉普拉斯算子、Minakshisundaram zeta 函数与半群

在本文中，我们展示了球面上拉普拉斯算子的分数次幂与解析数论和微分几何中的函数（如 Hurwitz zeta 函数和 Minakshisundaram zeta 函数）之间的新的潜在联系。受 Minakshisundaram 思想的启发，我们根据球面上 Dirichlet-to-Neumann 映射的分数次幂精确描述了 $(-\Delta_{\mathbb{S}^{n-1}})^s u(x)$ 的点态形式。单位球的 Poisson 核将是这部分分析的关键。另一方面，通过利用球面上的热半群，获得了额外的点态积分微分公式。最后，我们用一个局部延拓问题和内部 Harnack 不等式证明了一种刻画。