分数阶拉普拉斯与半群方法使用指南

半群方法是一种统一、广泛适用且通用的技术，用于表述并分析算子 $L$ 的分数次幂及其在相关函数空间中的正则性质。该方法由作者与 José L.~Torrea 于 2009 年引入（arXiv:0910.2569v1）。本章旨在展示该方法在分数阶拉普拉斯 $L^s=(-\Delta)^s$、$0<s<1$ 这一特例中的运作方式。起点是分数阶拉普拉斯的半群公式。由此，经典热核使我们获得 $(-\Delta)^su(x)$ 的点态公式。关键优势之一在于我们的技术依赖于热核的使用，从而可在傅里叶变换并非最合适工具的情形中应用。此外，它给出显式常数，这些常数对于在 $u$ 的极小条件下证明如下点态极限成立至关重要：$$\lim_{s\to1^-}(-\Delta)^su(x)=-\Delta u(x)\quad\hbox{and}\quad\lim_{s\to0^+}(-\Delta)^su(x)=u(x).$$ 通过半群方法，求得 Poisson 问题 $(-\Delta)^su=f$ 的解公式为分数阶拉普拉斯的逆 $u(x)=(-\Delta)^{-s}f(x)$（基本解）。随后我们给出 Caffarelli–Silvestre 延拓问题，其显式解由作者与 Torrea 首次发现的半群公式给出。借助延拓技术，可获得分数阶调和函数的内部 Harnack 不等式与导数估计。经典的 Hölder 与 Schauder 估计 $$(-\Delta)^{\pm s}:C^\alpha\to C^{\alpha\mp 2s}$$ 可用半群方法以相当快捷、优雅的方式证得。其中的关键点在于用热半群刻画 Hölder 与 Zygmund 空间。