某些演化算子高阶分数幂的延拓问题

本论文研究了 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中热算子 $H=\Delta-\partial_t$ 的高阶分数幂的延拓问题。具体而言，给定 $s>0$ 并以 $[s]$ 表示其整数部分，我们研究厚空间 $\mathbb{R}^{n+1}\times \mathbb{R}_y^+$ 中的如下退化偏微分方程，\begin{equation} \label{a:1} \mathscr{H}^{[s]+1}U= \left( \partial_{yy} +\frac{a}{y}\partial_y +H \right)^{[s]+1}U=0. \quad \quad (1) \end{equation} (1) 中 Bessel 参数 $a$ 与分数参数 $s>0$ 之间的联系由方程 \begin{equation*} a= 1-2(s-[s]). \end{equation*} 给出。当 $s\in(0,1)$ 时，该方程退化为熟知的关系 $a=1-2s$，此时 (1) 成为著名的 Caffarelli-Silvestre 延拓问题。推广他们的结果，本论文证明了非局部算子 $(-H)^{\,s}$ 可实现为与延拓方程 (1) 的解 $U$ 相关联的 Dirichlet-to-Neumann 映射。本论文系统地利用了与 Cauchy 问题 \begin{equation*} \begin{cases} \partial_{\tau}u-Hu=0 u((x,t),0)=f(x,t). \end{cases} \end{equation*} 相关联的演化半群 $\{P_{\tau}^H \}_{\tau>0}$。该方法提供了分析中的有力工具，并具有双重优势：一方面允许独立处理涉及傅里叶变换的若干复杂计算，另一方面推广到傅里叶变换不可用的框架。