一类非局部亚椭圆算子及其扩张

本文研究由 Hörnander 在其 1967 年亚椭圆性论文中引入的形如 $$\mathscr K u = \mathscr A u - \partial_t u \overset{def}{=} \operatorname{tr}(Q \nabla^2 u) + <BX,\nabla u> - \partial_t u$$ 的亚椭圆算子的分数幂所驱动的非局部方程。我们证明非局部算子 $(-\mathscr K)^s$ 与 $(-\mathscr A)^s$ 可实现为双重退化扩张问题的 Dirichlet-to-Neumann 映射。我们在 $L^\infty$ 中以及当 $\operatorname{tr}(B)\geq 0$ 时在 $1\leq p<\infty$ 的 $L^p$ 中求解此类问题。在后续工作中，我们将利用该演算建立一些新的 Sobolev 与等周不等式。