阶数接近零的非局部算子

我们研究了由不可积 L\'evy 核定义的狄利克雷型，其在原点的奇异性可能弱于任何分数阶拉普拉斯算子。我们展示了相关 Sobolev 型空间在有界域中的一些性质，例如对称化估计、Hardy 不等式、在 $L^2$ 中的紧嵌入或在某些 Lorentz 空间中的嵌入。随后，我们应用这些性质来研究相关的非局部算子 $\mathfrak{L}$ 以及与方程 $\mathfrak{L}u=f(x)$ 和 $\mathfrak{L}u=f(u)$ 在 $\Omega$ 中相关的狄利克雷问题和诺伊曼问题。