分数算子的渐近对称性

在本文中，我们研究了由非局部积分微分算子 $\mathcal{L}_K$ 驱动且具有齐次 Dirichlet 边界条件的方程。更确切地说，我们研究如下问题 $$\begin{aligned} &- \mathcal{L}_K u + V(x)u = |u|^{p-2}u, &&\text{in } \Omega, \newline &u=0, &&\text{in } \mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{aligned}$$ 其中 $2 < p < 2^{*}_s = \frac{2N}{N-2s}$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中的有界开区域 ($N\ge 2$)，$V$ 是一个 $L^\infty$ 势函数，使得 $-\mathcal{L}_K + V$ 是正定的。作为一种特殊情况，我们研究如下问题 $$\begin{aligned} &(- \Delta)^s u + V(x)u = |u|^{p-2}u, &&\text{in } \Omega, \newline &u=0, &&\text{in } \mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{aligned}$$ 其中 $(-\Delta)^s$ 表示分数 Laplacian ($0<s<1$)。我们给出了关于 $V$、$\Omega$ 和 $K$ 的假设，使得基态解（分别为最低能量节点解）至少对于接近 $2$ 的 $p$ 值，尊重 $-\mathcal{L}_K + V$ 的某些第一（分别为第二）特征函数的对称性。我们研究了此类解在相差一个乘法因子意义下的唯一性。所得结果推广了局部情形下获得的结论。