带低阶非局部扰动的分数阶拉普拉斯逆问题

本文中，我们通过考虑如下扰动分数阶拉普拉斯算子 $$\mathscr{L}_{b,q} := (-\Delta)^t + (-\Delta)_{\Omega}^{s/2} \ b (-\Delta)_\Omega^{s/2} + q, \quad 0<s<t<1$$ 在一个有界 Lipschitz 区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 上，研究一个以半透明边界域中 Lévy 过程为特征的模型问题。虽然分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^t$ 的非局部性依赖于整个 $\mathbb{R}^n$，但其非局部扰动中的非局部性通过区域分数阶拉普拉斯项 $(-\Delta)^{s/2}_{\Omega}$ 依赖于区域 $\Omega$，且 $b$ 体现了该过程的半透明性。我们分析了该模型的适定性以及某些定性性质，如唯一延拓性质、考虑其区域非局部扰动的 Runge 逼近格式。随后我们转入研究逆问题，发现通过获知 $\mathscr{L}_{b,c}$ 在外部区域 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 上相应的 Dirichlet 到 Neumann 映射（D-N 映射），可以确定 $\Omega$ 中的低阶扰动 `$b$',`$q$'。我们还讨论了从单次测量恢复 `$b$', `$q$' 及其局限性。