非散度型分数阶椭圆方程：定义、应用与 Harnack 不等式

我们在有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 中，在对系数 $a^{ij}(x)$ 与边界 $\partial\Omega$ 极小正则性假设下，定义非散度型椭圆算子 $L=-a^{ij}(x)\partial_{ij}$ 的分数次幂 $L^s=(-a^{ij}(x)\partial_{ij})^s$，$0 < s < 1$。我们表明这些分数阶算子出现在若干应用中，如分数阶 Monge–Ampère 方程、弹性学与金融。非局部 Poisson 问题 $$\begin{cases} (-a^{ij}(x) \partial_{ij})^su = f&\hbox{in}~\Omega\\ u=0&\hbox{on}~\partial\Omega \end{cases}$$ 的解 $u$ 由一个局部退化/奇异延拓问题刻画。我们在 Monge–Ampère 几何中发展了滑动抛物面法，并在系数 $a^{ij}(x)$ 为有界可测函数时，证明了延拓问题解的内部 Harnack 不等式与 Hölder 估计。这进而蕴含分数阶问题解 $u$ 的内部 Harnack 不等式与 Hölder 估计。