全体$\R^n$上具有临界增长的分数阶椭圆问题

我们研究~$\R^n$中的如下非线性和非局部椭圆方程 $$(-\Delta)^s u = \epsilon\,h\,u^q + u^p \ {\mbox{ in }}\R^n,$$ 其中~$s\in(0,1)$, $n>2s$, $\epsilon>0$为小参数, $p=\frac{n+2s}{n-2s}$, $q\in(0,1)$, 且~$h\in L^1(\R^n)\cap L^\infty(\R^n)$。该问题具有变分结构，这使得我们可通过考察适当能量泛函的临界点来寻找正解。具体地，本文中我们找到了该泛函的一个局部极小值和一条山路解。一个关键要素是集中-紧致原理。一些困难源于问题的非局部结构以及我们处理的是~$\R^n$整个空间中的方程（这导致某些嵌入的紧性缺失）。我们通过考察一个等价的扩展问题克服了这些困难。