分数对数 Laplacian：基本性质与特征值

本文首次引入分数对数 Laplacian $(-\Delta)^{s+\log}$，其定义为分数 Laplacian $(-\Delta)^t$ 在 $t=s$ 处的导数。这一算子是一个奇异积分算子，其傅里叶符号为 $|\xi|^{2s}(2\ln|\xi|)$，我们证明了点态积分表示\n\n$$(-\Delta)^{s+\log}u(x) = c_{n,s}\,\mathrm{PV}\,\int_{\mathbb{R}^n} \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+2s}}\bigl(-2\ln|x-y|\bigr)\,dy + b_{n,s}(-\Delta)^s u(x),$$\n\n其中 $c_{n,s}$ 为分数 Laplacian 的归一化常数，$b_{n,s}:=\frac{d}{ds}c_{n,s}$。我们还建立了 $(-\Delta)^{s+\log}$ 的多个等价表述，包括奇异积分表示、傅里叶乘子表示、谱微积分定义以及扩展特征化。我们在 $\mathbb{R}^n$ 和有界 Lipschitz 域上发展了其相关函数空间框架，引入自然能量空间并证明了嵌入结果。特别是，我们获得了在临界指数 $2_s^*=\frac{2n}{n-2s}$ 处的紧凑嵌入，这一现象不同于经典 Sobolev 空间和分数 Sobolev 空间的情形。我们进一步研究了泊松问题，证明了存在性和 $L^\infty$ 正则性结果。随后，我们考察了 Dirichlet 特征值问题，建立了定性谱性质。最后，我们推导了特征值计数函数和第 $k$ 个 Dirichlet 特征值的 Weyl 类型渐近律，表明高频行为结合了分数 Weyl 标度与对数增长因子，从而在分数 Laplacian 和对数 Laplacian 之间进行插值。