关于 m 阶对数拉普拉斯算子及其相关性质

在本文中，我们研究 $m$ 阶对数拉普拉斯算子 $\mathcal{L}_m$，它是通过傅里叶变换以符号 $\big(2\ln |\cdot|\big)^m$ 定义的奇异积分微分算子。借助这些对数拉普拉斯算子，我们建立了分数阶拉普拉斯算子关于阶数与 Riesz 算子的 $n$ 阶泰勒展开：对 $u \in C^\infty_c(\mathbb{R}^N)$ 与 $x \in \mathbb{R}^N$，$$(-\Delta)^s u (x) = u(x) + \sum^{n}_{m=1} \frac{s^m}{m!}\mathcal{L}_mu(x) + o(s^n) \quad {\rm as}\ \, s\to 0^+$$ 以及 $$\big(\Phi_s\ast u\big)(x) = u(x) + \sum^{n}_{m=1}(-1)^m\frac{s^m}{m!}\mathcal{L}_mu(x) + o(s^n) \quad {\rm as}\ \, s\to 0^+,$$ 其中 $(-\Delta)^s$ 为 $s$ 阶分数阶拉普拉斯算子，$\Phi_s\ast u$ 为 $s$ 阶 Riesz 算子，其形式为 $\Phi_s(x)=\kappa_{N,s}|x|^{2s-N}$（在 $\mathbb{R}^N\setminus\{0\}$ 中）。此外，我们基于阶数 $m$ 分析了这些算子的定性性质，如基本正则性与 Dirichlet 特征值。