格点 $\mathbb{Z}^n$ 上伪微分算子的符号演算与 $M$-椭圆性

本文引入并研究格点 $\mathbb{Z}^n$ 上的一类伪微分算子。更确切地说，我们考虑与 $\mathbb{Z}^n$ 上适当权函数 $\Lambda$ 相关联的加权符号类 $M_{\rho, \Lambda}^m(\mathbb{Z}^n\times \mathbb{T}^n), m\in \mathbb{R}$。我们通过推导复合、伴随、转置的公式，研究对应于 $M_{\rho, \Lambda}^m(\mathbb{Z}^n\times \mathbb{T}^n)$ 的伪微分算子的符号演算要素。我们定义属于 $M_{\rho, \Lambda}^m(\mathbb{Z}^n\times \mathbb{T}^n)$ 的符号的 $M$-椭圆性概念，并构造 $M$-椭圆伪微分算子的拟基本解。进一步，我们研究 $M$-椭圆伪微分算子的最小与最大扩张，并证明在符号的 $M$-椭圆性条件下它们在 $\ell^2(\mathbb{Z}^n)$ 上重合。我们还确定了最小与最大算子的定义域。最后，我们讨论 Fredholm 性质并计算 $\mathbb{Z}^n$ 上 $M$-椭圆伪微分算子的指标。