对数 Schr"odingter 和离散 Laplacian 算子扩展定理

本文我们考虑两种情境下的对数算子：适用于（连续）Schr"odingter 算子和经典离散情境。Schr"odingter 算子 $\mathcal L_V$ 定义在 $\mathbb R^d$ 上，形式为 $\mathcal L_V=-\Delta+V$，其中势函数 $V$ 为非负且满足逆 H"older 不等式，通常情况下 $\Delta$ 称为欧几里得 Laplacian；而离散 Laplacian $\Delta_d$ 在 $\mathbb Z$ 上的定义为 $(\Delta_df)(n)=f(n+1)-2f(n)+f(n-1)$，其中 $n\in \mathbb Z$。两种对数算子 $\log \mathcal L_V$ 和 $\log (-\Delta_d)$ 都是非局部算子，我们通过合适的扩展问题来定义它们。对数算子的扩展问题灵感来自Caffarelli 和 Silvestre 为分数 Laplacian 引入的扩展问题，但在这种情况下，对数算子是通过更复杂的方式作为扩展的边界值来获得的。