Laplace–Beltrami 算子的经验图 Laplacian 逼近:大样本结果

设 ${M}$ 为 ${{\bf R}^m}$ 中维数为 $\scriptstyle{d}$ 的紧致黎曼子流形,并设 ${X_1,...,X_n}$ 为 ${M}$ 中具一致分布的 i.i.d. 点样本。我们研究随机算子 $$\Delta_{h_n,n}f(p):=\frac{1}{nh_n^{d+2}}\sum_{i=1}^n K(\frac{p-X_i}{h_n})(f(X_i)-f(p)), p\in M$$ 其中 ${K(u):={\frac{1}{(4\pi)^{d/2}}}e^{-\|u\|^2/4}}$ 为高斯核且 ${h_n\to 0}$ 当 ${n\to\infty.}$ 此类算子可视为图 Laplacian(对于顶点位于数据点的带权图),并已在机器学习文献中用于逼近 ${M}$ 的 Laplace-Beltrami 算子 ${{\Delta_Mf}}$(除以流形的黎曼体积)。我们证明了关于偏差 ${\Delta_{h_n,n}f(p)-{\frac{1}{|\mu|}}\Delta_Mf(p)}$ 对光滑函数 ${f}$ 在点态与在 ${f}$ 和 ${p}$ 上一致的几乎必然与分布收敛的若干结果(此处 ${|\mu|=\mu(M)}$ 且 ${\mu}$ 为黎曼体积测度)。特别地,我们证明了对任意在 ${M}$ 上三阶可微且导数一致有界的函类 ${{\cal F}}$ 有 $$\sup_{p\in M}\sup_{f\in F}\Big|\Delta_{h_n,p}f(p)-\frac{1}{|\mu|}\Delta_Mf(p)\Big|= O\Big(\sqrt{\frac{\log(1/h_n)}{nh_n^{d+2}}}\Big) a.s.$$ 只要 $$nh_n^{d+2}/\log h_n^{-1}\to \infty and nh^{d+4}_n/\log h_n^{-1}\to 0,$$ 并且还证明了 ${\Delta_{h_n,p}f(p)-{\frac{1}{|\mu|}}\Delta_Mf(p)}$ 的渐近正态性(泛函中心极限定理)对固定 ${p\in M}$ 且在 ${f}$ 上一致成立。