经验 Hodge 拉普拉斯、上皮卷积环与流形学习

设 M^n 为 R^d 中维数为 n≥3 的紧致可定向光滑黎曼子流形。我们构造一族变形 Hodge 拉普拉斯 Δ*_t，t>0，作用于微分形式，并通过 M^n 的外在几何定义。我们证明这些算子在 t→0+ 时在合适的算子拓扑下一致收敛到经典 Hodge 拉普拉斯 Δ*。给定点云 S_m ⊂ M^n，定义经验算子 Δ*_{t, S_m}，并在 t = m^{-1/(2n)} 的合适尺度 regime 下，证明其在 t→0+ 时以概率收敛于 Δ*。这严格扩展了 scalar Belkin--Niyogi 拉普拉斯特征映射框架到微分形式。作为应用，我们获得了一致的 de Rham 上皮卷积环 H*(M^n, R)、M^n 的第二基本形式，以及 consequently 用于 Riemanian 曲率张量、Pontryagin 特征类和 Pontryagin 数的 M^n 从采样数据中恢复的程序。