双形式上的Hodge-de Rham和Lichnerowicz拉普拉斯算子及一些消失定理

黎曼流形$(M,g)$上的一个$(p,q)$-双形式可以同时被视为$M$上的向量值微分$p$-形式或向量值$q$-形式。因此，微分形式上的通常Hodge-de Rham拉普拉斯算子可以以两种方式扩展到双形式。这样得到的微分算子记为$\Delta$和$\widetilde{\Delta}$。在本文中，我们证明Lichnerowicz拉普拉斯算子$\Delta_L$作用于双形式时，正是上述两个算子的平均值。我们引入双形式上的一个新乘积，以建立对应于拉普拉斯算子$\Delta$、$\widetilde{\Delta}$和$\Delta_L$的Weitzenböck公式中曲率项的无指标公式。我们证明了$(p,0)$双形式上的Hodge-de Rham拉普拉斯算子$\Delta$以及任意阶对称双形式上的$\Delta_L$和$\Delta$的消失定理。这些结果推广了Petersen-Wink最近的结果。我们的消失定理揭示了曲率算子特征向量的秩对流形结构（例如拓扑）的影响。