基于半群方法的分数阶椭圆方程数值逼近

我们为非局部椭圆方程族 $(-\Delta)^su=f$（在 $\Omega$ 内）在 $\partial \Omega$ 上满足某些齐次边界条件 $\mathcal{B}(u)=0$ 的数值求解提供了一种新方法，其中 $s\in(0,1)$，$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 为有界域，$(-\Delta)^s$ 为 $\partial \Omega$ 上对应于 $\mathcal{B}$ 的谱分数阶拉普拉斯。我们利用解表示 $(-\Delta)^{-s}f$ 及其由半群方法给出的奇异积分表达式。通过将热半群的有限元离散与奇异积分的单调求积相结合，我们得到了精确的数值解。粗略而言，给定合适分数阶 Sobolev 空间（阶数 $r\geq 0$）中的数据 $f$ 及离散参数 $h>0$，我们的数值格式以 $O(h^{r+2s})$ 收敛，对充分正则的数据提供高达 $O(h^4)$ 的超二次收敛速率，或对仅 $f\in L^2(\Omega)$ 的情形简单以 $O(h^{2s})$ 收敛。我们还将所提框架推广到非齐次边界条件情形，并以若干说明性数值试验支撑我们的结果。