具有时间可测伪微分算子的抛物型偏微分方程的加权 $L_p$ 正则性理论

我们在（Muckenhoupt）加权 $L_p$ 空间中获得了如下柯西问题 \begin{equation}\label{ab eqn} \begin{cases} \partial_t u(t,x)=\psi(t,-i\nabla)u(t,x)+f(t,x),\quad &(t,x)\in(0,T)\times\mathbb{R}^d,\\ u(0,x)=0,\quad & x\in\mathbb{R}^d \end{cases} \end{equation} 的解的存在性、唯一性和正则性估计，其中涉及时间可测伪微分算子 \begin{equation} \label{ab op} \psi(t,-i\nabla)u(t,x):=\mathcal{F}^{-1}\left[\psi(t,\cdot)\mathcal{F}[u](t,\cdot)\right](x). \end{equation} 更确切地说，我们找到了符号 $\psi(t,\xi)$ 的充分条件（尤其依赖于符号关于 $\xi$ 的光滑性），以保证方程在（Muckenhoupt）加权 $L_p$ 空间中适定。这里符号 $\psi(t,\xi)$ 关于 $t$ 仅是可测的，而 $\psi(t,\xi)$ 关于 $\xi$ 的充分光滑性由每个权重的某种性质刻画。特别地，我们证明存在正常数 $N$，使得对方程的任意解 $u$，有 \begin{equation} \label{ab est} \int_0^T \int_{\mathbb{R}^d} |(-\Delta)^{\gamma/2} u(t,x) |^p (t^2 + |x|^2)^{\alpha/2} \mathrm{d}x\mathrm{d}t \leq N\int_0^T \int_{\mathbb{R}^d} |f(t,x)|^p (t^2 + |x|^2)^{\alpha/2} \mathrm{d}x\mathrm{d}t \end{equation} 以及 \begin{equation} \label{ab est 2} \int_0^T \left(\int_{\mathbb{R}^d} |(-\Delta)^{\gamma/2} u(t,x) |^p |x|^{\alpha_2} \mathrm{d}x \right)^{q/p} t^{\alpha_1}\mathrm{d}t \leq N\int_0^T \left(\int_{\mathbb{R}^d} |f(t,x) |^p |x|^{\alpha_2} \mathrm{d}x \right)^{q/p} t^{\alpha_1}\mathrm{d}t, \end{equation} 其中 $p,q\in(1,\infty)$，$-d-1<\alpha < (d+1)(p-1)$，$-1 < \alpha_1 < q-1$，$-\frac{d}{1} <\alpha_2< d(p-1)$（原文为 $-d <\alpha_2< d(p-1)$），且 $\gamma$ 为算子 $\psi(t,-i\nabla)$ 的阶。