变系数时间分数阶扩散-波方程的加权极大 $L_{q}(L_{p})$-正则性理论

我们给出方程 \begin{equation}\label{eqn 01.26.16:00} \partial^{\alpha}_{t}u(t,x)=a^{ij}(t,x)u_{x^{i}x^{j}}(t,x)+f(t,x),\quad t>0,x\in\mathbb{R}^{d}. \end{equation} 的带 Muckenhoupt 权重的极大 $L_{q}(L_{p})$-正则性理论。此处，$\partial^{\alpha}_{t}$ 是阶为 $\alpha\in(0,2)$ 的 Caputo 分数阶导数，$a^{ij}$ 是 $(t,x)$ 的函数。确切地，我们证明 \begin{equation*} \begin{aligned} &\int_{0}^{T}\left(\int_{\mathbb{R}^{d}}|(1-\Delta)^{\gamma/2}u_{xx}(t,x)|^{p}w_{1}(x)dx\right)^{q/p}w_{2}(t)dt \\ &\quad \leq N \int_{0}^{T}\left(\int_{\mathbb{R}^{d}}|(1-\Delta)^{\gamma/2}f(t,x)|^{p}w_{1}(x)dx\right)^{q/p}w_{2}(t)dt, \end{aligned} \end{equation*} 其中 $1<p,q<\infty$，$\gamma\in\mathbb{R}$，且 $w_{1}$ 和 $w_{2}$ 为 Muckenhoupt 权重。这意味着我们证明了极大正则性理论，以及根据 $f$ 的正则性得到的解的尖锐正则性。为证明主要结果，我们还证明了加权 Sobolev 空间的复插值，$$[H^{\gamma_{0}}_{p_{0}}(w_{0}), H^{\gamma_{1}}_{p_{1}}(w_{1})]_{[\theta]} = H^{\gamma}_{p}(w),$$ 其中 $\theta\in (0,1)$，$\gamma_{0},\gamma_{1}\in\mathbb{R}$，$p_{0},p_{1}\in(1,\infty)$，$w_{i}$（$i=0,1$）为任意 $A_{p_{i}}$ 权重，且 $$ \gamma=(1-\theta)\gamma_{0}+\theta\gamma_{1}, \quad \frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_{0}} + \frac{\theta}{p_{1}},\quad w^{1/p}=w^{\frac{(1-\theta)}{p_{0}}}_{0}w^{\frac{\theta}{p_{1}}}_{1}.