具有无界时间可测系数的完全退化二阶演化方程的加权 $L_q(L_p)$ 理论

我们研究完全退化二阶演化方程 $u_t=a^{ij}(t)u_{x^ix^j} +b^i(t) u_{x^i} + c(t)u+f, \quad t>0, x\in \mathbb{R}^d$，并给定零初始数据。这里 $a^{ij}(t)$、$b^i(t)$、$c(t)$ 仅为局部可积函数，且 $(a^{ij}(t))_{d \times d}$ 是最小特征值 $\delta(t)\geq 0$ 的非负对称矩阵。我们证明存在正常数 $N$ 使得 $\int_0^{T} \left(\int_{\mathbb{R}^d} \left(|u|+|u_{xx} |\right)^{p} dx \right)^{q/p} e^{-q\int_0^t c(s)ds} w(\alpha(t)) \delta(t) dt \leq N \int_0^{T} \left(\int_{\mathbb{R}^d} \left|f\left(t,x\right)\right|^{p} dx \right)^{q/p} e^{-q\int_0^t c(s)ds} w(\alpha(t)) (\delta(t))^{1-q} dt,$ 其中 $p,q \in (1,\infty)$，$\alpha(t)=\int_0^t \delta(s)ds$，$w$ 为 Muckenhoupt 权函数。