具有非线性势的随机演化方程的 Lp 解

本文考虑随机偏微分方程 $$\left\{ \begin{array}{l} u_t = \frac{1}{2} u_{xx} + u^\gamma \xi u(0,.) = u_0 \end{array}\right.$$ 其中 $\xi$ 是时空白噪声 Gauss 随机场，$\gamma > 1$，且 $u_0$ 是与 $\xi$ 独立的非负初始条件，满足 $$u_0 \geq 0, \qquad \lim_{n \rightarrow +\infty} \mathbb{E} \left [ \left (\int_{\mathbb{S}^1} u_0 (x)\wedge n dx \right)^2 \right ] = \mathbb{E} \left [ \left (\int_{\mathbb{S}^1} u_0 (x) dx \right)^2 \right ]< +\infty.$$ 空间变量为 $x \in \mathbb{S}^1 = [0,1]$，并认定 $0 = 1$。随机项的定义（取 Walsh 意义）将在文中阐明。结果是存在唯一的非负解 $u$，使得对于所有 $\alpha \in [0,1)$，有 $$\mathbb{E} \left [ \left( \int_0^\infty \int_{\mathbb{S}^1} u(t,x)^{2\gamma} dx dt \right)^{\alpha / 2 } \right ] \leq C( \alpha) < + \infty.$$ 其中常数 $C(\alpha)$ 源于 Burkholder-Davis-Gundy 不等式。还证明了解满足 $$\mathbb{E} \left [ \int_0^T \left(\int_{\mathbb{S}^1} u (t,x)^p dx \right)^{\alpha / p} dt \right ] < +\infty \qquad \forall T < +\infty, \qquad p < +\infty, \qquad \alpha \in \left (0, \frac{1}{2} \right ).$$