强噪声随机反应扩散方程随机波前的传播速度

我们研究种群遗传中出现的如下形式随机反应扩散方程解 $u_t(x)$ 的随机波前渐近速度：$$\partial_tu=\farc{1}{2}\partial_x^2u+f(u)+\sigma\sqrt{u(1-u)}\dot{W}(t,x),~t\ge 0,~x\in\Rm,$$ 其中 $f$ 是连续函数，满足 $f(0)=f(1)=0$，且使得 $|f(u)|\le K|u(1-u)|^\gamma$ 其中 $\gamma\ge 1/2$，而 $\dot{W}(t,x)$ 是时空高斯白噪声。我们假设初始条件 $u_0(x)$ 满足对所有 $x\in\Rm$ 有 $0\le u_0(x)\le 1$，$x<L_0$ 时 $u_0(x)=1$，$x>R_0$ 时 $u_0(x)=0$。我们证明当 $\sigma>0$ 时，对每个 $t>0$ 存在 $R(u_t)<+\infty$ 和 $L(u_t)<-\infty$，使得 $x>R(u_t)$ 时 $u_t(x)=0$，$x<L(u_t)$ 时 $u_t(x)=1$，即便 $f$ 非Lipschitz。我们还证明对所有 $\sigma>0$ 存在有限确定性速度 $V(\sigma)\in\Rm$ 使得 $R(u_t)/t\to V(\sigma)$ 当 $t\to+\infty$，几乎必然。这与确定性情形 $\sigma=0$ 形成剧烈对比，对于类型 $f(u)=u^m(1-u)$ 且 $0<m<1$ 的非线性项，解当 $t\to+\infty$ 时在 $\Rm$ 上一致收敛到 $1$。最后，我们证明当 $\gamma>1/2$ 时存在 $c_f\in\Rm$，使得 $\sigma^2V(\sigma)\to c_f$ 当 $\sigma\to+\infty$，并给出 $c_f$ 的刻画。最后这个结果补充了 Conlon 和 Doering \cite{cd05} 在 $f(u)=u(1-u)$ 特例（存在对偶论证）中得到的下界。