小噪声对非利普希茨漂变反应扩散方程传播速度的影响

我们考虑一维随机反应扩散方程取值于$[0,1]$的解$(u_{t,x}:t\geq 0, x\in \mathbb R)$，其带Wright-Fisher噪声$$\partial_t u= \partial_x^2 u + f(u) + \epsilon \sqrt{u(1-u)} \dot W.$$ 此处，$W$为时空白噪声，$\epsilon > 0$为噪声强度，$f$为$[0,1]$上的连续函数且满足$\sup_{z\in [0,1]}|f(z)|/ \sqrt{z(1-z)} < \infty.$ 我们假设初值数据满足对足够大的$x$有$1 - u_{0,-x} = u_{0,x} = 0$。近来，（Comm. Math. Phys. \textbf{384} (2021), no. 2）中证明了$u_t$的前沿以有限确定性速度$V_{f,\epsilon}$传播，并在对$f$稍强条件下推导了当噪声强度$\epsilon$趋于$\infty$时$V_{f,\epsilon}$的渐近行为。本文补充上述结果，得到当噪声强度$\epsilon$趋于$0$时$V_{f,\epsilon}$的渐近行为：对给定$p\in [1/2,1)$，若$f(z)$非负且对充分小的$z$与$z^p$同阶，则对充分小的$\epsilon$，$V_{f,\epsilon}$与$\epsilon^{-2\frac{1-p}{1+p}}$同阶。