一类随机反应扩散方程的相分析

我们考虑如下类型的反应扩散方程 $$\partial_t\psi = \partial^2_x\psi + V(\psi) + \lambda\sigma(\psi)\dot{W} \qquad\text{on $(0\,,\infty)\times\mathbb{T}$},$$ 其具有“良好”初值与周期边界，其中 $\mathbb{T}=[-1\,,1]$ 且 $\dot{W}$ 表示时空白噪声。反应项 $V:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 属于包含 Fisher–KPP 非线性 [$V(x)=x(1-x)$] 以及 Allen-Cahn 势 [$V(x)=x(1-x)(1+x)$] 的广大函数族，乘法非线性 $\sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为非随机且 Lipschitz 连续，$\lambda>0$ 为衡量噪声 $\dot{W}$ 影响强度的非随机参数。本文的主要结论是：(i) 当 $\lambda$ 足够大时，上述方程有唯一不变测度；(ii) 当 $\lambda$ 足够小时，所有不变测度的集合是一条非平凡线段，特别地是无限的。这证明了 Zimmerman 等人（2000）早前的预测。我们的方法也对这些不变测度的结构给出了大量结论。