无界域中随机反应扩散方程不变测度的存在性与唯一性

本文研究了形如 $du = (Au + f(u))dt + \sigma(u) dW(t)$ 的随机反应扩散方程的长时间行为，其中 $A$ 为椭圆算子，$f$ 和 $\sigma$ 为非线性映射，$W$ 为无限维核 Wiener 过程。重点在于无界域。在假设非线性函数 $f$ 具有某些耗散性质的条件下，已知该方程存在一个期望值在时间上一致有界的解。结合某些紧性性质，此类解的存在性意味着不变测度的存在，这是建立底层物理系统遍历行为的重要步骤。本文扩展了不变测度存在的非线性函数 $f$ 和 $\sigma$ 以及椭圆算子 $A$ 的现有类别，特别是在无界域中。我们还证明了，若 $A$ 为 Schr"{o}dinger 型算子 $A = \frac{1}{\rho}(\text{div} \rho \nabla u)$，其中 $\rho = e^{-|x|^2}$ 为高斯权重，则定义在上半空间上的方程其不变测度具有唯一性。