关于 Bochner 空间中随机反应扩散方程的临界正则性与耗散性

本文考虑随机反应扩散方程 $\mathrm{d}u = (\mathcal{A} u + f(u))\mathrm{d}t + \sigma(u)\mathrm{d}W$ 在光滑有界域 $\mathcal{O}$ 上，满足齐次 Dirichlet 边界条件。我们研究具有强耗散 drift 非线性和超线性乘性噪声的解的长期行为，其在 Bochner 空间 $L^q(\Omega; C_0(\overline{\mathcal{O}})$, $q \ge 2$ 中。此处 $\mathcal{A}$ 为二阶自共轭椭圆算子，$W$ 为双向迹类 Wiener 过程。由于在处理非线性项时投影算子之间的相互作用，标准 Galerkin 方法无法通过 It\^o 公式在 $L^q(\Omega; L^q(\mathcal{O}))$ 中获得能量估计（当 $q > 2$ 时），而经典的温和解理论在空间正则性上不足，无法直接应用 It\^o 公式。为克服这些困难，我们考虑温和解并在 $W_0^{1,q}(\mathcal{O})$ 中建立相应停止过程 $u_n(t)$ 的临界正则性估计，从而在非 Hilbert 空间 $L^q(\Omega; L^q(\mathcal{O}))$ 中严格证明了使用 It\^o 公式的可行性。结果我们得到显式的能量估计和定量的耗散性界限，推导出该空间中解的全局存在性、唯一性以及指数级渐近衰减。不同于连续函数空间中先前的定性结果，我们的框架提供了全局耗散性的完整定量理论。