实直线 $\mathbb{R}$ 上由乘性时空白噪声驱动且具有超线性漂移的随机反应扩散方程的全局适定性

考虑由时空白噪声驱动、具有对数非线性的随机反应扩散方程：\begin{align}\label{1.a} \left\{ \begin{aligned} & \mathrm{d}u(t,x) = \frac{1}{2}\Delta u(t,x)\,\mathrm{d}t+ b(u(t,x)) \,\mathrm{d}t \nonumber\\ & ~~~~~~~~~~~~~~~~ + \sigma(u(t,x)) \,W(\mathrm{d}t,\mathrm{d}x), \ t>0, x\in I , \\ & u(0,x)=u_0(x), \quad x\in I .\nonumber \end{aligned} \right. \end{align} 当 $I$ 为紧区间，例如 $I=[0,1]$ 时，上述方程的适定性在 [DKZ] (Ann. Prob. 47:1,2019) 中已建立。$I=\mathbb{R}$ 的情形则悬而未决。本质障碍在于解的上确界范数爆炸，即 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|u(t,x)|=\infty$，使得通常的截断方法失效。本文证明了在整个实直线 $\mathbb{R}$ 上具有对数非线性的随机反应扩散方程存在唯一的全局解。由于非线性的性质，为获得唯一性，我们不得不在空间 $C_{tem}(\mathbb{R})$ 上处理解的一阶矩，并采用一种特殊设计的范数 $$\sup_{t\leq T, x\in\mathbb{R}}\left(|u(t,x)|e^{-\lambda |x|e^{\beta t}}\right),$$ 其中与 $C_{tem}(\mathbb{R})$ 中通常的范数不同，指数还以特定方式依赖于时间 $t$。我们的方法严重依赖于我们所获得的随机卷积的新的精确低阶矩估计以及一类新的 Gronwall 不等式，这些本身也具独立意义。