由 L\'evy 噪声驱动的巴拿赫空间中的随机耗散系统

本文关注随机反应扩散方程的良好可解性，如方程\n\begin{equation} \begin{cases} dX(t)(\xi)=\big(\Delta_\xi X(t)(\xi)-p(X(t)(\xi))\big)dt+RdW(t)+dL(t), \quad t\in [0,T];\\ X(0)=x\in L^2(\mathcal{O}) \end{cases} \end{equation}其中 $\mathcal{O}$ 为 $\mathbb{R}^d$ 的有界开放域，具有光滑边界，$d\in\mathbb{N}$，$p:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 为次数为奇数的多项式且首项系数为正，$R$ 为 $L^2(\mathcal{O})$ 上的有界线性算子，$\{W(t)\}_{t\geq 0}$ 为 $L^2(\mathcal{O})$-圆柱维纳过程，$\{L(t)\}_{t\geq 0}$ 为 $L^2(\mathcal{O})$ 上的纯跳 L\'evy 过程。我们对方程加上适当的边界条件。一些文献中的结果允许在每个 $x\in L^p(\mathcal{O})$（其中 $p\geq 2$ 为适当值）下研究反应扩散方程的解的存在性和唯一性。本文的结果允许在连续函数空间 $C(\overline{O})$ 上研究反应扩散方程，这在 L\'evy 情况下似乎是新的（在维纳情况下已实现）。我们还讨论并综述了前述文献，旨在统一不同框架。我们指出，当 $R=0$ 时，对每个 $x\in C(\overline{O})$（或 $x\in L^p(\mathcal{O})$），方程的弱解在 $C(\overline{O})$（或 $\in L^p(\mathcal{O})$）中具有 $c\`adl\`ag$ 修改，即使 $\{L(t)\}_{t \geq 0}$ 不是取值于 $C(\overline{O})$（或 $\in L^p(\mathcal{O})$）的 L\'evy 过程。这一现象在 SPDE 中（即 $F\equiv 0$ 的线性问题）已在其他文献中研究过。