随机变分不等式及其在受线性乘性噪声扰动的全变分流中的应用

本文引入了一种新方法，用于证明随机非线性扩散方程 $dX(t)={\rm div} [\frac{\nabla X(t)}{|\nabla X(t)|}]dt+X(t)dW(t)$ 在 $(0,\infty)\times\mathcal{O}$ 上变分解的存在性和唯一性，其中 $\mathcal{O}$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N\ge 1$) 中的有界开区域，$W(t)$ 是形式为 $W(t)=\sum^\infty_{k=1}\mu_k e_k\beta_k(t)$ 的 Wiener 过程，e_k \in C^2(\bar\mathcal{O})\cap H^1_0(\mathcal{O})，且 $\beta_k$ ($k\in\mathbb{N}$) 是独立的 Brownian 运动。这是一个具有高度奇异扩散项的随机扩散方程，本文建立的主要结果之一是：对于 $L^2(\mathcal{O})$ 中的所有初始条件，该方程在相应随机变分不等式的连续解类中是适定的。从而获得了（最小）全变分流的随机版本。此处开发的新方法还允许证明在维度 $1\le N\le 3$ 中解的有限时间熄灭，这是本文的另一个主要结果。