具有非平稳独立增量的随机过程相关扩散方程的 $L_p$ 理论

设 $X=(X_t)_{t \ge 0}$ 为概率空间 $(\Omega, \mathbb{P})$ 上具有（不一定平稳）独立增量的随机过程。本文研究与随机过程 $X$ 相关的以下柯西问题：$\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = \mathcal{A}(t)u(t,x) + f(t,x), \quad u(0,\cdot)=0, \quad (t,x) \in (0,T) \times \mathbf{R}^d$，其中 $f \in L_p( (0,T) ; L_p(\mathbf{R}^d))=L_p( (0,T) ; L_p)$ 且 $\mathcal{A}(t)u(t,x) = \lim_{h \downarrow 0}\frac{\mathbb{E}\left[u(t,x+X_{t+h}-X_t)-u(t,x)\right]}{h}$。我们给出了 $X$ 的一个充分条件，以保证方程在 $L_p\left( [0,T] ; H^\phi_{p}\right)$ 中唯一可解，其中 $H^\phi_{p}$ 是 $\mathbf{R}^d$ 上的 $\phi$-势空间。进一步我们证明对于该解，$\| u\|_{L_p\left( [0,T] ; H^\phi_{p}\right)} \leq N \|f\|_{L_p\left( [0,T] ; L_p\right)}$，其中 $N$ 与 $u$ 和 $f$ 无关。