无界区域上作为 Cahn–Hilliard 系统渐近极限的非线性扩散方程：基于柯西准则的方法

本文为次微分算子发展了一套抽象理论，以给出无界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ ($N\in{\mathbb N}$) 上非线性扩散方程初边值问题 (P) 解的存在唯一性，该方程写为 $$\frac{\partial u}{\partial t} + (-\Delta+1)\beta(u) = g \quad \mbox{在}\ \Omega\times(0, T)$$ 中，它代表了多孔介质方程、快速扩散方程等，其中 $\beta$ 是 $\mathbb{R}$ 上的单值极大单调函数，$T>0$。此前，即便 Stefan 问题被排除在 (P) 的示例之外，在 $\beta$ 的增长条件下也直接证明了 (P) 的存在唯一性。本文通过验证以下带逼近参数 $\varepsilon>0$ 的近似问题 (P)$_{\varepsilon}$ 解的柯西准则，完全去除了对 $\beta$ 的增长条件：$$\frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial t} + (-\Delta+1)(\varepsilon(-\Delta+1)u_{\varepsilon} + \beta(u_{\varepsilon}) + \pi_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})) = g \quad \mbox{在}\ \Omega\times(0, T)$$ 中，该问题被称为 Cahn–Hilliard 系统，即使 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \in \mathbb{N}$) 是无界区域。此外，可以看出 Stefan 问题也被涵盖在本文的框架内。