具有超线性吸收的反应扩散方程：普适界、Cauchy 问题的唯一性、平稳解的有界性

考虑抛物型反应扩散方程的经典解 &u_t =Lu+f(x,u), (x,t)\in R^n\times(0,\infty); &u(x,0) =g(x)\ge0, x\in R^n; &u\ge0, 其中 $$L=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x)\frac\partial{\partial x_i}$$ 是一个非退化椭圆算子，$g\in C(R^n)$，且反应项 $f$ 在 $u\to\infty$ 时以超线性速率收敛到 $-\infty$。我们给出了关于 $f$ 的一个与 $L$ 无关的尖锐最小增长条件，以保证上述 Cauchy 问题的所有解存在一个普适的先验上界——即存在一个有限函数 $M(x,t)$ 于 $R^n\times(0,\infty)$ 上，使得对所有 Cauchy 问题的解都有 $u(x,t)\le M(x,t)$。现在进一步假设 $f(x,0)=0$，从而 $u\equiv0$ 是 Cauchy 问题的一个解，我们证明在类似的增长条件下，两个看似不同的现象之间存在密切关系——即初始数据 $g=0$ 的 Cauchy 问题的唯一性与相应椭圆问题无无界平稳解。我们还给出了无非平凡平稳解的一个一般性条件。