均匀扩散的统计指数公式

记 $\Delta^{1}_{p}$ 为 $1$-齐次 $p$-Laplacian，其中 $1 \leq p \leq \infty$。本文证明了 Cauchy 问题 $$\left\{ \begin{array}{c} u_{t} \ - \ ( \frac{p}{ \, N + p - 2 \, } ) \, \Delta^{1}_{p} u ~ = ~ 0 \quad \mbox{for} \quad x \in \mathbb{R}^{N}, \quad t > 0 \ \ u(\cdot,0) ~ = ~ u_{0} \in BUC( \mathbb{R}^{N} ) \end{array} \right.$$ 的唯一有界连续粘性解 $u$ 由指数公式 $$u(t) ~ := ~ \lim_{n \to \infty}{ \left( M^{t/n}_{p} \right)^{n} u_{0} } \,$$ 给出，其中统计算子 $M^{h}_{p} \colon BUC( \mathbb{R}^{N} ) \to BUC( \mathbb{R}^{N} )$ 定义为：当 $1 \leq p \leq 2$ 时，$$\left(M^{h}_{p} \varphi \right)(x) := (1-q) \operatorname{median}_{\partial B(x,\sqrt{2h})}{ \left\{ \, \varphi \, \right\} } + q \operatorname{mean}_{\partial B(x,\sqrt{2h})}{ \left\{ \, \varphi \, \right\} } \,$$ 其中 $q := \frac{ N ( p - 1 ) }{ N + p - 2 }$；当 $p \geq 2$ 时，$$\left(M^{h}_{p} \varphi \right)(x) := ( 1 - q ) \operatorname{midrange}_{\partial B(x,\sqrt{2h})}{ \left\{ \, \varphi \, \right\} } + q \operatorname{mean}_{\partial B(x,\sqrt{2h})}{ \left\{ \, \varphi \, \right\} } \,$$ 其中 $q = \frac{ N }{ N + p - 2 }$。文中简要提及了向具有 Dirichlet 边界条件的问题以及度量测度空间上的均匀扩散问题的可能推广。