黎曼模型上半线性椭圆方程稳定解的正则性

我们考虑黎曼模型 $(M,g)$ 中半径为 $R$ 的测地球 $\mathcal{B}_R$ 上具有零 Dirichlet 边界条件的反应扩散问题 $-\Delta_g u = f(u)$。这类黎曼流形包括经典的\textit{空间形式}，即欧几里得空间、椭圆空间和双曲空间。对于半稳定解类，我们证明了其径向对称性和单调性。此外，我们建立了最优且不依赖于非线性项 $f$ 的 $L^\infty$、$L^p$ 和 $W^{1,p}$ 估计。作为一个应用，在对非线性项 $\lambda f(u)$ 的标准假设下，我们证明了当 $n\leq9$ 时，相应的极值解 $u^*$ 是有界的。为了确立我们正则性结果的最优性，利用改进的加权 Hardy 不等式，我们找到了某些指数和非线性幂律情形的极值解。