MEMS问题中稳定解的正则性直至最优维数6

本文研究具有MEMS型非线性的半线性椭圆方程$-\Delta u = f(u)$的稳定解的正则性。更精确地说，在区域$\Omega \subset \mathbb{R}^n$中，$0\leq u \leq 1$，且$f:[0,1)\to (0,+\infty)$在$u=1$处爆破且在1附近不可积。在此背景下，若解$u$在整个$\Omega$上满足$u<1$，或等价地，$-\Delta u = f(u)<+\infty$，则称其为正则解。本文首次建立了与$u$可能满足的边界条件无关的内部正则性估计。我们的结果在最优维数$n=6$下成立（对于$n\geq 7$存在反例），但需要对非线性项$f$施加Crandall-Rabinowitz型假设。我们的主要估计通过仅使用较大球中$u$的$L^1$范数，来控制球中$F(u)$的$L^\infty$范数，其中$F$是$f$的一个原函数。在相同假设下，我们还给出了维数$n\leq 6$时具有零边界条件的Dirichlet问题的全局估计，改进了先前已知的结果。对于$n\leq 2$，我们不需要Crandall-Rabinowitz型假设，因此，我们的全局估计对所有在1处爆破且在1附近不可积的非负、非递减、凸的非线性项均成立。