含平流项的MEMS模型中极化解的正则性

我们考虑非线性特征值问题 (S)_\lambda \qquad {rcr} -\Delta u + c(x) \cdot \nabla u &=& \frac{\lambda}{(1-u)^2} \qquad {in $\Omega$}, u &=& 0 \qquad {on $\pOm$} 的极化解的正则性，其中 $\Omega$ 是 $\IR^N$ 中的光滑有界区域，$c(x)$ 是 $\bar \Omega$ 上的光滑有界向量场。我们证明，与无平流模型 ($c\equiv 0$) 一样，当且仅当维数 $N\leq 7$ 时，所有半稳定解都是光滑的。这里的难点在于半稳定性假设缺乏合适的变分刻画。我们通过使用 Hardy 不等式的一个一般形式克服了这一困难。在后续论文 \cite{CG2} 中，我们将指出该方法如何应用于许多其他涉及平流项的非线性特征值问题（包括 Gelfand 问题），表明它们本质上都具有与其无平流对应问题相同的临界维数。