半线性椭圆问题稳定解至边界的能量估计

我们得到了具有变系数的半线性方程稳定解至边界的普适能量估计。具体而言，我们考虑方程 $- L u = f(u)$ 的解，其中 $L$ 为线性一致椭圆算子，$f$ 为 $C^1$ 函数，使得线性化方程 $-L - f'(u)$ 具有非负主特征值。我们的主要结果是对在半球的平面部分为零的稳定解，其梯度的 $L^{2+\gamma}$ 范数给出估计，适用于任意非负且非减的 $f$。该界仅要求椭圆系数为 Lipschitz 连续。由此，若进一步假设非线性项 $f$ 为凸，则我们的估计在一般 $C^{1,1}$ 区域中依然成立。即便对于拉普拉斯算子，该结果也是新的，此前需要区域具有 $C^3$ 正则性假设。