半线性椭圆方程半稳定解的新先验估计

我们在具有零 Dirichlet 边界条件的一般光滑有界域 $\Omega \subset R^{n}$ 中考虑半线性椭圆方程 $-L u = f(u)$，其中 $L$ 是一致椭圆算子，$f$ 是 $[0,\infty)$ 上的 $C^{2}$ 正、非减且凸的函数，满足当 $t\rightarrow\infty$ 时 $\frac{f(t)}{t}\rightarrow\infty$。我们证明，若 $u$ 是正半稳定解，则对每个 $0\leq\beta<1$，有 $$f(u)\int_{0}^{u}f(t)f"(t)~e^{2\beta\int_{0}^{t}\sqrt{\frac{f"(s)}{f(s)}}ds}~dt\in L^{1}(\Omega),$$ 且界中的常数不依赖于 $u$。如我们将看到的，文献中关于先验界的大量结果均可作为该估计的直接推论。特别地，在其他结果之中，我们在附加假设 $\limsup_{t\rightarrow\infty} \frac{f(t)f"(t)}{f'(t)^{2}} < \frac{2}{9-2\sqrt{14}}\cong 1.318$ 下，建立了维数 $n\leq 9$ 时的先验 $L^{\infty}$ 界。此外，在非常弱的假设下，即对某个 $\epsilon>0$，$\liminf_{t\rightarrow\infty} \frac{(tf(t))^{2-\epsilon}}{f'(t)} > 0$ 或 $\liminf_{t\rightarrow\infty} \frac{t^{2}f(t)f"(t)}{f'(t)^{\frac{3}{2}+\epsilon}} > 0$，我们建立了 $n\leq 5$ 时的先验 $L^{\infty}$ 界。