具有临界 Sobolev 指数的分数阶半线性椭圆方程的先验估计与任意大解之比较

我们研究分数阶半线性椭圆方程 $$(- \Delta)^\sigma u = K(x) u^\frac{n + 2 \sigma}{n - 2 \sigma} ~~~~~~ in ~ B_2 \setminus \{ 0 \}$$ 在原点具有孤立奇点的正解，其中 $K$ 是 $B_2$ 上的正函数，穿孔球 $B_2 \setminus \{ 0 \} \subset \mathbb{R}^n$ 满足 $n \geq 2$，$\sigma \in (0, 1)$，$(- \Delta)^\sigma$ 是分数阶 Laplacian。在低维情形下，我们证明对于任意 $K \in C^1 (B_2)$，正解 $u$ 在原点附近始终满足 $u(x) \leq C |x|^{ - (n - 2 \sigma)/2 }$。相比之下，我们在高维情形下构造了正函数 $K \in C^1 (B_2)$，使得正解 $u$ 在原点附近可以任意大。特别地，这些结果同样适用于 $\mathbb{B}^{n+1}$ 上的预定边界平均曲率方程。