非线性$p$-拉普拉斯方程稳定解的有界性

我们考虑在光滑有界域$\Omega\subset\mathbb{R}^n$中方程$-\Delta_p u =f(u)$的稳定解，其中$f$为$C^1$非线性函数。无论是在径向情形，还是对于一般域中某些模型非线性$f$，已知稳定解在最优维数范围$n<p+4p/(p-1)$内有界。在本文中，基于对$n$和$p$的一个新条件，我们建立了对一切$f\in C^1$均成立的稳定解的$L^\infty$先验估计。我们的条件在$n\geq3$的径向情形是最优的，而在非径向情形则更具限制性。本工作改进了该课题的已知结果，并给出了径向与非径向情形的统一证明。当$n<p+4p/(p-1)$时，对所有$C^1$非线性均成立的稳定解$L^\infty$界的存在性在过去二十年中一直是一个开放问题。Cabré、Sanchón与作者即将发表的论文将在$p>2$时解决它。