一类无增长条件的 p-Laplacian Neumann 问题的多个正解

对于 $1<p<\infty$，我们考虑以下问题 $$-\Delta_p u=f(u),\quad u>0\text{ in }\Omega,\quad\partial_\nu u=0\text{ on }\partial\Omega,$$ 其中 $\Omega\subset\mathbb R^N$ 是一个球体或圆环。非线性项 $f$ 在 Sobolev 嵌入意义下可能是超临界的；特别地，我们的假设允许包含原型非线性项 $f(s)=-s^{p-1}+s^{q-1}$ 对于任意 $q>p$。我们使用打靶法来获得非常数径向解的存在性和多重性。利用同样的技术，我们还探测了解在常数解 $u\equiv1$ 附近的振荡行为。特别地，我们证明了 [D. Bonheure, B. Noris, T. Weth, {\it Ann. Inst. H. Poincar\'e Anal. Non Lin\'aire} vol. 29, pp. 573-588 (2012)] 中提出的一个猜想，即如果 $p=2$ 且 $f'(1)>\lambda_{k+1}^{rad}$，那么对于一大类非线性项，该问题存在一个恰好与 $u\equiv1$ 有 $k$ 个交点的径向解。