具 Neumann 边界条件的半线性椭圆问题的多个径向正解

假设 $B_{R}$ 是 $\mathbb R^{N}$ 中的球，我们分析如下问题在正解分支从常数解 $u=1$ 随 $p$ 从 $2$ 增长到 $+\infty$ 时的正解：$$\begin{cases} -\Delta u+u= |u|^{p-2}u, &\text{ in } B_{R},\newline \partial_{\nu}u=0,&\text{ on } \partial B_{R}, \end{cases}$$ 非零常数正解是 $p$ 接近 $2$ 时的唯一正解。我们证明当 $p\to\infty$（特别是超临界指数情形）或当 $R \to \infty$ 且任意固定 $p>2$ 时，存在任意多个正解，部分回答了 [Bonheure-Noris-Weth] 中的一个猜想。我们给出了存在给定数目解时 $p$ 和 $R$ 的显式下界。研究了这些解的几何性质并进行了数值说明。我们的模拟引发了额外的猜想。还讨论了最小能量解（在所有解中或仅在径向解中）的结构及其他相关问题。