球域内 Lane-Emden 问题的拟径向节点解

我们考虑半线性椭圆问题 \begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-\Delta u= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation} 其中 $B$ 是以原点为中心的 $\mathbb R^2$ 中的单位球，且 $p\in (1,+\infty)$。我们证明了 \eqref{problemAbstract} 的非径向变号解的存在性，这些解是\emph{拟径向}的，即其节点线为有限个互不相交的简单闭曲线的并，这些曲线是 $B$ 内嵌套区域的边界。特别地，这些解的节点线不接触 $\partial B$。该结果通过两种不同方法获得：一是在某些 $p$ 值处从 \eqref{problemAbstract} 的最小能量变号径向解 $u_p$ 出发的非径向分歧；二是通过研究对于大 $p$，在由关于 $x$-轴的反射与绕原点角度为 $\frac{2\pi}{k}$ 的旋转（对合适的整数 $k$）生成的二面体群作用不变的函数空间中，最小能量节点解的定性性质。我们还证明了对于某些整数 $k$，这些对称函数空间中的最小能量节点解反而是径向的，特别地展示了依赖于指数 $p$ 的对称性破缺现象。