Lane-Emden 问题节点径向解的精确 Morse 指数计算

我们考虑半线性 Lane-Emden 问题 \begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-\Delta u= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation} 其中 $B$ 是 $\mathbb R^N$ ($N\geq2$) 中以原点为中心的单位球，且 $1<p<p_S$，当 $N=2$ 时 $p_S=+\infty$，当 $N\geq3$ 时 $p_S=\frac{N+2}{N-2}$。我们的主要结果是证明在维度 $N=2$ 时，若 $p$ 充分大，\eqref{problemAbstract} 的最小能量变号径向解 $u_p$ 的 Morse 指数恰好为 $12$。作为中间步骤，我们在任意维度 $N\geq2$ 下显式计算了 $\mathbb R^N$ 中一个极限加权问题的第一特征值。