Lane-Emden 问题的 Morse 指数与变号气泡塔

我们考虑半线性 Lane-Emden 问题 \begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{ \begin{array}{lr} -\Delta u= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }\Omega\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial \Omega \end{array} \right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation} 其中 $p>1$ 且 $\Omega$ 是 $\mathbb R^2$ 中的光滑有界对称区域。我们证明，对于 \eqref{problemAbstract} 的变号对称解族 $(u_p)$，其 Morse 指数的上界意味着当 $p\to+\infty$ 时，正部 $u_p^+$ 和负部 $u_p^-$ 集中在同一点。随后对 $u_p^+$ 和 $u_p^-$ 的渐近分析表明，当 $p\to+\infty$ 时，$(u_p)$ 的渐近轮廓是一个由两个不同气泡组成的塔。