超临界椭圆问题中球面上的气泡集中

我们考虑超临界 Lane-Emden 问题 $$(P_\eps)\qquad -\Delta v= |v|^{p_\eps-1} v \ \hbox{in}\ \mathcal{A} ,\quad u=0\ \hbox{on}\ \partial\mathcal{A}$$ 其中 $\mathcal A$ 是 $\rr^{2m}$ 中的一个环域，$m\ge2$，且 $p_\eps={(m+1)+2\over(m+1)-2}-\eps$，$\eps>0.$ 我们证明了 $(P_\eps)$ 的正解和变号解的存在性，当 $\eps\to0$ 时，这些解在 $(m-1)-$维球面上集中并爆破。利用一种降维方法（参见 Ruf-Srikanth (2010) J. Eur. Math. Soc. 和 Pacella-Srikanth (2012) arXiv:1210.0782），我们将问题 $(P_\eps)$ 转化为环域 $\mathcal D\subset \rr^{m+1}$ 中的一个非齐次问题，该问题可通过 Ljapunov-Schmidt 有限维降维法求解。