半线性椭圆方程的约化方法及球面上的解集中

我们证明，在 $\mathbb{R}^{2m}$ ($m >1$) 中的环形区域 $A$ 内，任何具有 Dirichlet 或 Neumann 边界条件且在某一对称群作用下不变的广义半线性椭圆问题，均可约化为 $\mathbb{R}^{m+1}$ 中环形区域 $D$ 内的一个非齐次类似问题，后者在另一相关对称性下不变。我们应用此结果证明了 $A$ 中奇异摄动椭圆问题存在正解和变号解，这些解集中在一个或两个 $(m-1)$ 维球面上。我们还证明了，当集中参数趋于无穷大时，这些解的 Morse 指数也趋于无穷大。