具有 Neumann 边界条件的微超临界 Lane-Emden 系统的变号解

我们考虑如下具有 Neumann 边界条件的 Lane-Emden 系统的微超临界问题：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u_1=|u_2|^{p_\epsilon-1}u_2,\ &in\ \Omega,\\ -\Delta u_2=|u_1|^{q_\epsilon-1}u_1, \ &in\ \Omega,\\ \partial_\nu u_1=\partial_\nu u_2=0,\ &on\ \partial\Omega \end{cases} \end{equation*} 其中 $\Omega=B_1(0)$ 为 $\mathbb{R}^n$ ($n\geq4$) 中以原点为单位球，$p_\epsilon=p+\alpha\epsilon, q_\epsilon=q+\beta\epsilon$，其中 $\alpha,\beta>0$ 且 $\frac1{p+1}+\frac1{q+1}=\frac{n-2}n$。我们基于结合由特定对称性给出的零均值条件的 Lyapunov-Schmidt 约化论证，展示了集中解的存在性与多解性。值得注意的是，我们同时考虑两种情况：$p>\frac n{n-2}$ 与 $p<\frac n{n-2}$。系统在不同情形下的耦合机制完全不同，导致解的行为发生显著变化。研究挑战亦随之不同。目前，在考虑解构造时同时涵盖两个区间的论文极少。因此，这也是我们工作的主要特征与新贡献。