超临界 Lane-Emden 系统边界层的存在性

我们考虑 Lane-Emden 系统的如下超临界问题：\begin{equation}\label{eq00} \begin{cases} -\Delta u_1=|u_2|^{p-1}u_2\ &in\ D,\\ -\Delta u_2=|u_1|^{q-1}u_1 \ &in\ D,\\ u_1=u_2=0\ &on\ \partial D, \end{cases} \end{equation} 其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^N$ ($N\geq4$) 中的有界光滑区域。我们所指的超临界是指指数对 $(p,q)\in(1,\infty)\times(1,\infty)$ 满足 $\frac1{p+1}+\frac1{q+1}<\frac{N-2}N$。我们证明，对于某些合适的区域 $D\subset\mathbb{R}^N$，存在正解且其边界层集中在 $\partial D$ 的一个或多个 $k$ 维子流形上，此时 $$\frac1{p+1}+\frac1{q+1} \rightarrow \frac{n-2}{n},\ \ \ \ \frac{n-2}{n}<\frac1{p+1}+\frac1{q+1}<\frac{N-2}N,$$ 其中 $n:=N-k$ 且 $1\leq k\leq N-3$。通过将原问题 \eqref{eq00} 转化为较低 $n$ 维的加权系统，我们实施了约化框架并应用了爆破分析。与极限问题相关的基态性质在此过程中发挥了关键作用。代表 $(p,q)$ 极限对的相应指数对 $(p_0,q_0)$ 位于临界双曲线 $\frac n{p_0+1}+\frac n{q_0+1}=n-2$ 上。人们普遍认识到，较小指数（设为 $p_0$）的范围对解有深远影响，其中 $p_0=\frac n{n-2}$ 是一个阈值。值得强调的是，本文通过考虑 $p_0$ 的两个不同范围来处理该问题，分别对应于 $p_0>\frac n{n-2}$ 和 $p_0<\frac n{n-2}$。与这些范围相关的耦合机制完全不同，需要不同的处理方法。这代表了本研究克服的主要挑战和创新之处。